El enfoque histórico: una propuesta humanista en la enseñanza de la Matemática

Aída Miguel

Departamento de Matemática, Colegio Nacional de Buenos Aires, Universidad de Buenos Aires

Posiblemente esto guarde relación con el hecho de que, sobre todo en el nivel universitario, el docente continúe enrolado en la corriente conductista, adoptando el rol de expositor, de transmisor.

Es frecuente que en clase los alumnos se limiten a escuchar y copiar del pizarrón, teniendo muy escasa participación.

Los resultados no tardan en llegar: especialmente en el nivel universitario y en las materias correspondientes al primer año, son muchos los alumnos al comienzo del ciclo y muy pocos los que logran desarrollar las competencias mínimas necesarias y suficientes.

Me parece importante preguntarme por qué los alumnos padecen tantos tropiezos. ¿Cómo debería tener lugar el proceso de enseñanza-aprendizaje matemático? ¿Estamos aplicando la metodología adecuada en las clases? Pienso que allí es donde tenemos que dirigir nuestra atención y tratar de producir algunos cambios.

Todo docente de Matemática conoce la frecuencia con la que surgen en las aulas preguntas como las siguientes: "¿Quién inventó esto?", "¿Para qué sirve?". Esto nos hacen pensar en la conveniencia de usarlas como punto de partida para lograr un cambio en la enseñanza de nuestra asignatura.

Nuestra propuesta consiste en aprovechar estas inquietudes para incorporar a las clases el estudio del desarrollo histórico de las nociones y conceptos, partiendo de la base de que para entender la interacción fecunda que existe entre la realidad y la Matemática es necesario acudir a la historia de esta ciencia que nos devela tanto el proceso de emergencia de nuestra materia como el surgimiento de sus diversas aplicaciones.

Nuestra enseñanza debería tratar de reflejar el carácter profundamente humano de la Matemática, ganando con ello en asequibilidad, dinamismo, interés y atractivo.

Hacer hincapié en la construcción de los procesos de pensamiento propios de nuestra disciplina más que en la mera transferencia de conocimientos es proponer un trabajo semejante al que el hombre ha seguido en la creación de estos conceptos, algo parecido a lo que el matemático activo utiliza al enfrentarse con el problema de la matematización de la parcela de la realidad de que se ocupa.

Se trata, en otras palabras, de ponernos en contacto con la realidad que ha dado lugar a los conceptos matemáticos que queremos explorar con nuestros alumnos.

Esto nos exige el conocimiento del contexto histórico que enmarca estos conceptos.

Es extraordinariamente útil tratar de mirar la situación a la que los matemáticos se enfrentaron con la mirada perpleja con la que ellos la contemplaron inicialmente.

La visión que se nos brinda en muchos de los libros de texto se asemeja con demasiada frecuencia a una novela policial que aparece ya destripada desde el comienzo por haber comenzado su autor contando el final. Planteada de otra forma, su lectura podría ser verdaderamente apasionante.

La Historia nos proporciona una magnífica guía para enmarcar los diferentes temas, los problemas de los que han surgido los conceptos importantes de nuestra materia, nos da las luces como para entender las razones que han conducido al hombre a ocuparse de ellos con interés.

Si conocemos la evolución de las ideas de las que pretendemos ocuparnos, comprenderemos su relación con las aplicaciones interesantes que de ellas han podido surgir y la situación reciente de las teorías que han derivado de las mismas.

Es claro que no podemos esperar que nuestros alumnos descubran en un par de semanas lo que la humanidad elaboró a lo largo de varios siglos.

Es cierto, sin embargo, que la búsqueda con la fecunda guía del maestro y sin aniquilar el placer de descubrir es un objetivo alcanzable.

Quisiera hacer notar también que la implementación de un enfoque histórico puede tener lugar en todos los niveles de la educación. En el nivel superior, empero, el docente debe convertirse en un investigador de la historia de la matemática para lograr reconstruir, aún partiendo de unos cuantos personajes, parte del proceso que llevó a la concretización de lo estudiado.

Existen tres enfoques típicos para abordar la enseñanza de cualquier teoría científica: el heurístico o conceptual, el lógico o axiomático y el enfoque histórico.

• El componente heurístico en la enseñanza de la Matemática.

Durante mucho tiempo psicólogos, psicopedagogos y docentes creyeron que los grandes mecanismos del aprendizaje descubiertos en el marco de la Psicología Genética (conservaciones, clasificaciones, seriaciones, etcetera) podían transferirse directamente al aula y que su implementación era una garantía de que los alumnos pudieran aprender nuevos conceptos o, por caso, resolver los problemas en una asignatura dada. Así planteada la situación, se alejaba al profesor de la posibilidad de vincular a sus educandos con los sistemas y conceptos propios de las áreas específicas del saber.

Es necesario, tanto para docentes como para alumnos comprender que un problema matemático es una situación que implica un objetivo a conseguir. Sin esta aceptación el problema no existe. Debe representar un reto a las capacidades de quien intente resolverlo y, además, ser interesante en sí mismo.

En la resolución de un problema se ponen de manifiesto las técnicas, habilidades, estrategias y actitudes personales de cada individuo.

Esto lleva consigo el uso de la heurística (arte del descubrimiento).

El matemático polaco George Poyla (1887-1985) famoso por sus ideas acerca de la resolución de problemas, establece en su libro How to solve it una colección sistemática de reglas y estrategias metodológicas denominadas procedimientos heurísticos. Los mismos representan un conjunto de acciones que se proponen en el aula para lograr que el alumno adquiera competencias que le permitan resolver problemas, desarrollar el juicio ante sus propias producciones y las ajenas y comunicar y confrontar resultados.

Las fases fundamentales son:

-comprender el problema

-diseñar un plan de acción para su resolución

-ejecutar este plan

-examinar la solución obtenida

-lograr una visión retrospectiva del problema

Las ventajas del componente heurístico en la enseñanza de la matemática son varias y pueden resumirse en los puntos siguientes:

-Obtención de una autonomía para resolver problemas propios.

-El trabajo se torna atrayente, divertido, satisfactorio y creativo.

-Proyectar hacia otras disciplinas el empleo de estas estrategias.

• La lógica matemática

El segundo enfoque tradicional para la enseñanza de cualquier teoría científica se basa en que la lógica en general está intrínsecamente ligada a la evolución intelectual del ser humano ya que, como ciencia de razonamiento, su historia representa la historia misma del hombre.

La lógica surge desde el primer momento en que el hombre al enfrentar a la naturaleza infiere, deduce, razona con el ánimo de entenderla y utilizarla para su supervivencia.

Con frecuencia se define la lógica como el estudio de las formas del conocimiento en general y del conocimiento científico en particular, a causa del lugar preponderante que éste ocupa en la consideración de la realidad por parte del hombre, consideración que le permite, en último término, actuar sobre ella.

La primera elaboración sistemática de la lógica se debe al Organon de Aristóteles (384-332 a.C.), obra que durante mucho tiempo fue considerada definitiva en la materia. Sus capítulos fundamentales son el estudio del concepto, el juicio, el razonamiento (especialmente el deductivo). Esto representa el primer intento de establecer la lógica como ciencia.

Aristóteles clasifica todos los conceptos o nociones y trata las reglas del razonamiento silogístico.

El silogismo fue adoptado por los escolásticos, representantes del sistema teológico-filosófico característico de la Edad Media, quienes lo enriquecieron con numerosos y detallados estudios lo que acabó por sobrecargar la teoría del silogismo acarreando su descrédito.

El Renacimiento aportó, movido por su interés metodológico, el estudio de los esquemas inductivos.

En el siglo XIX se produce un cambio de orientación que condujo a la lógica contemporánea también llamada logística, lógica simbólica o lógica matemática.

La lógica simbólica utiliza un lenguaje artificial constituido por símbolos que representan estructuras formales. La lógica matemática tiene una estrecha relación con esta ciencia ya que surge de los avances de ésta, particularmente del álgebra.

En la lógica contemporánea se estudian las conexiones entre los enunciados y la estructura de los mismos lo cual constituye la lógica proposicional, en la cual se introducen símbolos cuantificadores.

El estudio de la inducción es otro importante capítulo. Todo ello se realiza ajustándose al ideal del cálculo. Existen docentes que desarrollan su tarea siguiendo estos lineamientos.

El objetivo de la lógica matemática es cuestionar con el mayor rigor los conceptos y las reglas de deducción utilizadas en la Matemática. A partir de considerar objetos definidos (naturales, por ejemplo) define leyes que relacionan estos objetos entre sí (los axiomas). De los axiomas se deducen nuevas proposiciones (los teoremas) y, a veces, nuevos objetos.

La construcción de sistemas formales (formalización) piedra angular de la lógica matemática, permite eliminar la arbitrariedad en la elección de los axiomas y definir explícita y exhaustivamente las reglas de la deducción matemática.

• El enfoque histórico en la enseñanza de la Matemática

El tercer enfoque, el histórico, es una propuesta metodológica que tiene como objetivo principal despertar y motivar el interés del alumno hacia el estudio de una ciencia.

Generalmente se utiliza para complementar otros enfoques y consiste en mostrar cómo se han ido desarrollando los conceptos, quiénes intervinieron en su desarrollo y, si es posible, determinar las dificultades encontradas.

Este enfoque en la enseñanza de la Matemática actúa como ente motivador en el alumno ya que a través de él descubrirá la génesis de los conceptos y métodos que aprenderá en el aula.

En la actualidad, la enseñanza de la Matemática se efectúa a través de una transmisión casi dogmática, por lo que, de adoptarse el enfoque histórico, se estaría dando un gran avance al proporcionar a la estructura afectiva del alumno el estado de motivación e interés propio para el aprendizaje.

Es significativo el número de estudiantes que demuestran gran indiferencia y hasta rechazo en el aprendizaje de la Matemática, lo que se traduce en un considerable índice de fracasos. Creemos que si los alumnos conocieran la evolución de los conceptos aprendidos en clase, si los ayudáramos a establecer una relación entre dichos conceptos y la época en que se desarrollaron, si tuviéramos, por fin, la capacidad de transmitir las motivaciones y las dudas que experimentaron los investigadores que los encararon, nuestra materia ganaría en atractivo sin perder por ello rigor. Involucrándose en el aprendizaje, los alumnos podrían sentir un poco como propios los conocimientos adquiridos.

Es importante resaltar, por supuesto, la necesidad de ser criteriosos a la hora de apelar al enfoque histórico: si al combinarlo con el enfoque heurístico las ideas principales no han quedado claras, conocer su evolución no ayudará al educando en la resolución de problemas.

También es aconsejable admitir que aún proporcionando interesantes beneficios, el uso de la Historia conllevará un trabajo adicional para el enseñante.

La implementación del enfoque histórico presenta dificultades específicas, propias de cada nivel del aprendizaje. Así, en la EGB o en el nivel medio no siempre es fácil presentar el proceso que llevó a la determinación de un concepto o regla. No obstante ello, podemos implementar recursos adecuados, como la utilización de lecturas breves que serán discutidas en el aula, la presentación anecdótica o a la confección de láminas que relacionen rostros, nombres, fechas, símbolos y conceptos matemáticos. El conocer quiénes y por qué utilizaron por primera vez los modernos signos de las operaciones, cómo fue su representación en las diferentes culturas, cómo surgieron las fracciones y los números decimales, cuáles fueron las diferentes representaciones que tuvieron, cómo surgió el álgebra, por qué encontramos en tiempos idos tan pocas mujeres matemáticas y cuál fue el aporte de las mismas, por qué al dividir fracciones efectuamos una multiplicación, cuándo y por qué se propuso la utilización del sistema métrico decimal, entre otras cuestiones, logrará en algún grado humanizar la Matemática y despertar el interés del alumno.

En el nivel superior, en cambio, la reconstrucción de la evolución histórica de los conceptos se ve facilitada por la madurez del estudiante.

Si lo que se pretende es despertar la curiosidad del educando, creemos que no es necesario aplicar demostraciones rigurosas. Lo que se busca es proporcionar información acerca de cómo surgió el principio, la ley o el procedimiento que estudiará y posteriormente aplicará.

Una estrategia es proponer en clase la resolución de problemas históricos.

Al encarar cuestiones que interesaron a los antiguos, el alumno se transporta a la época en cuestión, experimenta tal vez inseguridad, pero sin duda la gran satisfacción que proporciona el autodescubrimiento, aún el realizado bajo la guía del maestro.

El enfocar a posteriori el mismo problema utilizando métodos modernos le permitirá observar, establecer analogías y deducir el camino más natural para adquirir el conocimiento matemático.

También en este nivel se pueden sugerir pequeñas lecturas que complementen la presentación y discusión del trabajo. Por ejemplo, en un curso de cálculo se podría plantear desde el inicio (a través de bibliografía o fomentando una breve investigación) cómo surgieron los infinitesimales en los griegos y seguir su desarrollo hasta llegar a los aportes de Newton con sus fluxiones y métodos de sumación. De esta manera el alumno podría reconstruir las nociones de lo que hoy aprende y aplica bajo el nombre de Cálculo Diferencial e Infinitesimal.

La mayoría de los especialistas en didáctica de la Matemática sugieren que un cierto conocimiento de la historia de la Matemática debería formar parte indispensable del bagaje de conocimientos del matemático en general y del profesor de cualquier nivel en particular. En el caso del docente universitario no sólo por lo valioso de su instrumentación en la propia enseñanza sino porque la historia puede proporcionar una visión verdaderamente humana de la ciencia y de la matemática constituyendo de este modo un aporte para el mismo enseñante.

La perspectiva histórica nos acerca a la Matemática como ciencia humana, no endiosada, a veces penosamente reptante y en ocasiones falible, aunque capaz de corregir sus errores.

Desde el punto de vista del conocimiento más profundo de la propia Matemática, la Historia nos proporciona un cuadro en el que los elementos aparecen en su verdadera perspectiva, lo que enriquecerá tanto al investigador como al enseñante.

Si cada porción del conocimiento matemático de nuestros libros de texto llevara escrita el número del siglo al que pudiera ser asignada con alguna aproximación, veríamos saltar locamente los números naturales, los sistemas de numeración, los números racionales, reales, complejos. Decenas de siglos de distancia hacia atrás, hacia adelante y otra vez hacia atrás vertiginosamente.

No se trata de que tengamos que hacer conscientes a nuestros alumnos de tal circunstancia. El orden lógico no es necesariamente el orden histórico ni tampoco el orden didáctico coincide con ambos.

El profesor, empero, debería saber cómo han ocurrido las cosas para comprender mejor las dificultades en la elaboración de las ideas matemáticas (que coinciden, a veces, con la de los propios alumnos), comprender mejor la ilación de las ideas, de los motivos y variaciones que tienen los conceptos y símbolos matemáticos y utilizar este saber como una sana guía para su propia pedagogía.

Desde luego, la iniciativa propia será la mejor guía en la consecución de situaciones que permitan a cada docente utilizar el enfoque histórico como herramienta en el aula, aunque, sin duda, es importante reservar un lugar muy especial en la enseñanza de la Matemática para el momento en que ésta despliegue su propia historia.

de GUZMAN, Miguel, Tendencias innovadoras en educación matemática, Buenos Aires, Editorial popular O.E.I., 1992.

Profesora de Matemática y Cosmografía y Licenciada en Enseñanza de las Ciencias con Orientación en didáctica de la Matemática. Docente de la Facultad de Ingeniería, UBA, de la Universidad Tecnológica Nacional y del Colegio Nacional de Buenos Aires.